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1-3: シュレーディンガー方程式 |
シュレーディンガー
(オーストリア: 1887 - 1961) は
ド・ブローイの物質波
(ド・ブローイ波) の
アイデアに興味を持ち,
この波動がどのような
方程式で
記述されるのか
検討した結果,
1つの波動方程式を得ました (1926).
これが シュレーディンガーの
波動方程式 です.
通常は単に
シュレーディンガー方程式
と呼ばれています.
シュレーディンガー方程式は, 現在では, ミクロの世界を支配する 革命的な新力学 「量子力学」 の 基本方程式 となりました. それはちょうど, ニュートンの運動方程式が マクロの世界を支配する 古典力学 (ニュートン力学) の 基本方程式であるのと 対比されます. シュレーディンガー方程式 を解くことによって, ボーアの量子論の結果も 全て完璧に導くことが できました.そして ミクロの世界の謎が 次々に解決されて 行きました. |
「自由粒子のシュレーディンガー方程式」
簡単のため 1次元空間 を考えましょう. 力がまったく 働いていない粒子 (自由粒子) を 考えます. 自由粒子は一定速度で 運動する最も単純な 運動です. ミクロの世界では 粒子は 粒子性 と 波動性 とを 兼ね備えた存在である と言いました. では,自由粒子の 粒子性 は どのように表されるでしょう. 速度 v で走っている 質量 m の粒子の 運動量は p = mv です. このときの エネルギーは ですから,言うまでもなく E と p との関係は です.これらの 粒子としての 運動を表現する量 p と E が, 粒子性 を 特徴付けています. 一方,粒子の運動に伴う ド・ブローイ波 の 波長 を λ, 振動数 を ν とすると, これらの λ と ν が 波動性 を 特徴付ける量です. 上記の粒子性,波動性を 特徴付ける量の間の関係は アインシュタイン - ド・ブローイの関係 です. さて,粒子の運動に伴う ド・ブローイ波 を 表す関数(波動関数 と呼びます)を Ψ(x , t ) としましょう. シュレーディンガーは 粒子性の関係式 (1) を 考慮しながら, 波動関数 Ψ(x , t ) の 満たすべき 波動方程式 を提案しました. ただし, プランク定数 h の代わりに それを 2π で割り算した が使われています. (アルファベットの h に 横棒が付いているので, エッチ・バーと発音します.) 今後もしばしば お目にかかります. 波動方程式 (3) が 自由粒子 に対する シュレーディンガー 方程式 です. この波動方程式が 考案された理由については, 下に引用する別のページで 少し詳しく説明します. 1-3-A: 「シュレーディンガー方程式の考え方」 |
「自由粒子の波動関数」
シュレーディンガー方程式 (3) の最も簡単な解は です. これが 自由粒子の波動関数 です.このように シュレーディンガー方程式 の解 すなわち 波動関数 は一般に複素数 となります. これはなんだか変ですね. もともと波動関数は ド・ブローイ波を 表すものと考えました. それが複素数というのでは, 一体,波動関数は 何なのでしょう? (3) 式の シュレーディンガー方程式 の中に虚数単位 が 入っているから, その解の波動関数が 複素数になるのは 当然です. それでは シュレーディンガー方程式 (3) が間違っているのでしょうか. いやそうではありません. 実は波動関数には 思いもよらない深い 意味があったのです. そのことは後で 分かります. 波動関数の 「深い意味」については 後で学ぶことにして, 当面,不問にして おきましょう. |
「力が作用している場合の
シュレーディンガー方程式」
自由粒子のエネルギーと 運動量の関係式 (1) と, シュレーディンガー方程式 (3) とを比べると, と対応しています. つまり,(1) 式において, エネルギー E と 運動量 p を (5) 式のように 微分演算子で 置き換えて, その結果を波動関数 Ψ に作用 (演算) させると シュレーディンガー方程式 (3) が得られる, という仕組みになっています. 次に,粒子に 力が働いている場合 を考えましょう. 力のポテンシャルを V (x ) と しましょう. この場合の エネルギー E と 運動量 p との関係は エネルギー保存則 です. この関係 (6) に (5) 式の置き換えを 行って, その結果を波動関数 Ψ に作用 させると, 波動方程式 が得られます. これが 力が 作用している場合の 一般的な シュレーディンガー方程式 です. |
「3次元空間における
シュレーディンガー方程式」
現実的な問題に対しては (7) 式の シュレーディンガー方程式を 3次元空間に 拡張しなければなりません. この場合の力のポテンシャルは 座標 ( x, y, z ) の 関数であり, 波動関数は 変数 ( x, y, z, t ) の関数となります.そして シュレーディンガー方程式は と書かれます. |
「残った難問」
上に示した シュレーディンガー方程式 をさまざまな系 (例えば水素原子) に 適用し, その結果が 実験データに 見事に一致することが わかり, シュレーディンガー方程式が 「量子力学」 の 基本方程式 であり, ミクロの世界を支配する 基本原理であることが 分かって来ました. 確かにこの基本方程式 を使って ミクロの世界の さまざまな構造が, 見事に説明できましたが, しばらくの間は 波動関数 が 何を意味するのか 明確でなく, 「波動関数の解釈」 という 難問が尾を引くことに なりました. |
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