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1-2：　波動についての "おさらい"

シュレーディンガーの 波動力学について 勉強する前に， ちょっとだけ 波動について おさらい を しておきましょう．

「簡単な波動」 　簡単のため しばらくの間 １次元空間 を考えましょう． 例えば，ギターや 琴のような 弦の中を伝わる振動を 考えるわけです． 弦の振動の大きさ F は 下図 のように 位置 (x ) と 時刻 (t ) との 関数 F (x, t ) です．

この図には 右方向に進行する 正弦波 （最も簡単な波動） が描かれています． 実線 の波は 時刻が t = 0 のとき， 破線はそれより 少し後の時刻の波です. この波の波長を λ， 振動数を ν とすると， です． k は 波数， ω は 角振動数 と呼ばれます． また，波が進行する 速度 c は となります.

「通常の波動方程式」 　弦の中を伝わる波動 F (x, t ) が従う 波動方程式 が と書かれることは よく知られています． 記号 ∂ は 偏微分 を 意味します． 偏微分は， F (x, t ) のように変数が２つ以上ある 関数の，特定の変数 のみに関する 変化率を意味します. 例えば， ∂F /∂t は x を固定したまま F を t で 微分することを意味します． 他方， ∂F /∂x は t を固定したままで x で 微分するわけです． 　(4) 式の中の定数 c は 波の進行速度で，弦の線密度や 弦の張力に依存します． 　(1) 式の正弦波が (4) 式の波動方程式を 満たすことは 言うまでもありません． つまり，正弦波 (1) は 波動方程式 (4) の 特別な解です．

上の (4) 式は 弦という1次元空間 の 中を伝わる振動の 波動方程式です． 3次元空間 の場合， たとえば 空気中の波動（音波）や， 真空中の電場や磁場 すなわち電磁波 (光) の 場合には，3次元の座標 (x，y, z ) が必要です． したがって， この場合の波動 F は ４つの変数 x，y, z t の関数 F (x，y, z, t ) となり， このときの波動方程式は となります． 定数 c は， 音波のときは 音速， 電磁波 (光) のときは 光速 です．

「重ね合わせの原理」 　(4) 式の波動方程式は たいへん一般的な形ですから， これだけでは波の形 (波形) を決めることはできません． 例えば，時刻が t = 0 のときの波形 (初期条件) が 与えられると，その後の 波の動きは (4) 式の波動方程式 で決めることができます． 　しかし，波動方程式には 波動 という性質に とって欠くべからざる 大変大事な性質があります． それは 重ね合わせの原理 です．下で詳しく 説明しましょう． 　いま，関数 F (x, t ) が (4) 式の波動方程式を満たす 波動であるとしましょう． 同じく別の関数 G (x, t ) が 同じ波動方程式を満たす 別の波動であるとしましょう． すなわち， です． このとき， これら２つの波動をたし算した （重ね合わせた） F + G もまた同じ 波動方程式を満たす 波動です．つまり， が成り立ちます． 　つまり， 「同一の波動方程式を 満たす複数の波動を たし算して重ね合わせたものも， やはり同じ 波動方程式を満たす 波動である」 という 重ね合わせの原理 が成り立ちます．

例１ (定在波) 　右方向に進行する 正弦波 も，左方向に進行する 正弦波 も，ともに 弦の波動方程式 (4) を 満たします． したがって，これらを 重ね合わせた波 も， 弦の波動方程式 (4) を 満たします． この波は左右どちらにも 進行しない 定在波 です． 両端を固定した 弦の振動は この種の波です (下図参照)．

長さ L の弦の固有振動 両端の固定点が 常に振動の 0 点と なるために， 波長λが 2L， 2L/2， 2L/3， ・・・ の 固有振動のみが 可能です．

例２ (干渉) 　波数（あるいは波長）が 異なる２つの正弦波 を重ね合わせると， ２つの波が， 位置によって， 強め合ったり 弱め合ったりします． これが 干渉 です (下図参照)． 干渉が起きるということは， 重ねあわせの原理が 成り立つということを 意味し， 波動性 の 表れであると 考えられます．

２つの正弦波の干渉 波長が少し異なる ２つの正弦波 �@ と �A を 重ね合わせたものが �B の太い 実線 です． 干渉現象が起きています．

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