第1部目次
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1-5: 波動関数の意味 |
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1-3: シュレーディンガー方程式
で学んだように,
量子力学の
基本方程式は
シュレーディンガー
方程式 です.
これは,古典力学の
エネルギーと
運動量との関係式と
矛盾しない形の
波動方程式として
導入されました.
その結果,
ド・ブローイ波を
表すと考えられる
波動関数
Ψ(x , t )
が複素数になってしまいます.
複素数の物理量は
考えられません.
一体,波動関数は
何を意味するのでしょう.
波動関数の解釈 については, 色々な考えが提案されました. 中でも ボルン (ドイツ,イギリス: 1882 - 1970) によって提案された 確率解釈 (統計的解釈) が 矛盾が無くて, 今では最も正統的な解釈とされ, この考え方に基づいて 量子力学 の 全ての理論が 組み立てられています. |
「波動関数の確率解釈」
下図 のように 3次元空間の中で,座標 (x , y , z ) の点の近傍の3辺の長さが dx , dy , dz の 微小体積 (直方体) dV = dx dy dz を考えます. 時刻 t において, この微小体積の中に 粒子が見出される確率 すなわち 粒子の "存在確率" を P (x , y , z , t ) dx dy dz としましょう. P (x , y , z , t ) は 点 (x , y , z ) の近傍の単位体積あたりの 確率ですから, しばしば確率密度 と呼ばれます. |
[注意]
上で 粒子の "存在確率" という言葉を用いました. しかし,これは,例えば電子が 常に 粒子 の形で, 粒子 の姿をして存在し, ただその運動が 確率的である, ということを 意味するものでは ありません. 電子はあくまで 「粒子」 と 「波動」 の 両方の性質をもった 存在であり, 「粒子」だけの性質 を持つわけでは ありません. ここで言う "存在確率" とは, 「粒子」を観測したとき 見出される確率 を意味します. 誤解を避けるため "引用符" で 囲んでおきます. |
ボルンの確率解釈は, 「粒子の "存在確率"の 確率密度は 波動関数の 絶対値の2乗に等しい」 と主張しています. すなわち,上図 の 微小体積 dV 内に粒子が見出される確率は であると考えます. 波動関数 Ψ(x , y , z , t ) そのものは 一般には 複素数の値ですが, その絶対値の2乗を とりますから, "存在確率"は常に 正 (または 0) となって,困ることは 起きません. |
「波動関数の規格化」 |
任意の時刻 t において,
粒子は空間のどこかに
存在するはずですから,
(1) 式の
粒子の "存在確率"を
全空間にわたって
積分すると,
すなわち全確率を
計算すると,
100% になるはずです.
つまり
波動関数
Ψ(x , y , z ,
t ) は
規格化の条件
を満たすように なっていなければ なりません.単に シュレーディンガー方程式 の解を求めただけでは 規格化の条件 (2) を 満たしているとは 限りません. シュレーディンガー方程式の ある1つの解 Φ(x , y , z , t ) に,0 でない 任意の定数 C を 掛け算した Ψ = C Φ も 同じ シュレーディンガー方程式の 解ですから, この定数 C を うまく調整すれば, 結果の波動関数 Ψ が (2) 式を満たすようにすることが できます. この操作を 波動関数の規格化 と呼び,掛けるべき 定数 C を 規格化定数 と呼びます. 規格化定数が と書かれることは 容易にわかります. |
古典論では
ニュートンの運動方程式
によって
粒子の軌道や運動量を,
すべての時間にわたって
決定することが
できました.
ところが
量子力学の
基本方程式である
シュレーディンガー
方程式が決定するのは
波動関数 です.
そして波動関数から
わかるのは
粒子の "存在確率"
です.
何だか物足りないような
感じがしますが,
ミクロの世界を
記述するには
これで必要かつ十分
なのです.
前ページで学んだ
ハイゼンベルクの
不確定性原理 に
照らし合わせて,
ぴったり整合してるのです.
このことは,このセミナー
を通じて,だんだんと
分かってくるだろうと
思います.
ボルンの確率解釈の正しさを 実験的に検証する 典型的な例が 次々ページに 示されます. |
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