| |
 「束縛状態 の エネルギー固有値」
すでに
1-6 ページ
において，バネ の振動
を 量子力学で扱うと，
飛び飛びの
エネルギー固有値 をもった
固有状態が得られる
ことを学びました．
このような
飛び飛びの
エネルギーの
固有状態は，
バネの振動に
限りません．
一般に，量子力学において
束縛状態 と言われる
状態に
共通の性質であり，
古典論には
決してありえない
特徴です．どこにそのような
特徴の由来があるか
少し説明しましょう．
１次元空間において，
下の 図 (A) のような
「井戸型」のポテンシャル
を考えます．
この「井戸型」ポテンシャル
V (x ) によって
力を受けて運動する
質量 m
の粒子の従う
シュレーディンガー
方程式は，
です．
いま，粒子が
「井戸型」ポテンシャル
につかまって
束縛 されて
いる状態を
考えましょう．
図 (A) からわかるように，
その状態のエネルギー E
は，
のはずです．
このとき，
ポテンシャルが
V (x )
= 0 となる
遠方の領域 における
波動関数の様子を
見てみましょう．
この領域で
シュレーディンガー
方程式 (1) は
と書き直すことができます．
したがって，
V (x )
= 0 の領域における
波動関数の 一般解 は
となります． ここで，
A, B は
任意の定数です．
波動関数の絶対値の
２乗が粒子の"存在確率"
の 確率密度 ですから，
一般に波動関数は
空間のどこにおいても
発散する
(±∞ となる) ことは
許されません．
したがって，
(4) 式の波動関数は，
右遠方 (x = + ∞) で
A = 0，
左遠方 (x = - ∞) で
B = 0 でなければ
なりません．すなわち，
遠方の
V (x )
= 0 の領域の
波動関数は
となります．
このように，波動関数が遠方
x = ±∞ において
発散しないという
境界条件
を満たすためには，
エネルギー E は
何でもよいというわけには
行きません．
ある特定の値でなければ
なりません．
そのような値を
エネルギー固有値
といい，それらは
飛び飛び の値となります．
このような飛び飛びの
固有値を
離散的固有値
といい，
エネルギーが離散的である
ことを 「エネルギーが
量子化 されている」
とも言います．
また，それぞれの
エネルギー固有値
に対応する状態を
固有状態
と呼びます．
これらの状態の
波動関数は
遠方で 0 となり，
その大部分は
ポテンシャルの領域に
つかまって
(局在化されて) いますから，
束縛状態 と
呼ばれています．
したがって，
束縛状態の固有値は
必ず離散的 となります．
エネルギー固有値や
対応する波動関数
(固有関数
とも呼ばれます) は，
(1) 式の
シュレーディンガー
方程式を
(5) 式の境界条件を
付けながら解くことに
よって求められます．
その例を下に
図示しましょう．
計算の方法についての
詳細は別の
量子力学に関する
参考書を参照して下さい．
(例えば，高田健次郎著，
「量子力学 I」
朝倉書店)．
|
第３部目次
次ページ
トップ