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3-2：　水素原子の構造

ラザフォードの 有核原子模型によると， 水素原子 は，中心に 重い 陽子 があり， その周囲を１個の 電子 が 回転運動をしていると 考えられます． 陽子は電子に比べて 約1800倍重いので， 座標原点に 静止していると考えて よいでしょう． 　陽子と電子の間には クーロンの引力 が 働いています． そのポテンシャルは， 原点から電子までの 距離を r とすると， と書かれます． 電子の運動を記述する シュレーディンガー 方程式 は です． 言うまでもなく， 波動関数 ψ は 変数 x , y , z の関数です． この場合，直角座標 ( x , y , z ) を使うより，下図 に示す 極座標 ( r , θ, φ) の方が 便利です．

「水素原子の固有状態」 　(1) 式の シュレーディンガー 方程式を 極座標 ( r , θ, φ) で表し， 波動関数が 空間のいたるところで 滑らかな 連続関数で，無限遠方 r = ∞ で 0 に収束するという 境界条件 を 付けて解くと， 前ページで学んだように， 離散的エネルギー固有値 を持った 固有状態 が 得られます． その詳しい計算法等についての 説明は，ここでは 割愛し，結果のみを 説明しましょう． すすんで勉強をしたい方は， 別の量子力学の 参考書を参照して下さい． (例えば，高田健次郎著， 「量子力学 I」 朝倉書店)． 　このようにして得られた 水素原子の固有状態 の 波動関数 は と書くことができます． 　R ( r ) の部分は 動径波動関数 と呼ばれ，整数 n , l で特徴付けられます． このように，状態を 特徴付ける「数」を しばしば 量子数 といいます. ただし， です． また， Y (θ,φ) の部分は 角度波動関数 であり， 整数 l , m で特徴付けられます． ただし， です． 　角度波動関数は， 電子の原点の回りでの 回転の状態 を記述しています． すなわち，量子数 l は電子の回転の速さ， つまり 角運動量の 大きさを表し，量子数 m はその角運動量が どの方向を向いているか， 言い換えれば どの方向に回転しているかを 示しています． これらの量子数が， (3)，(4) 式のように 整数であるということは， 角運動量の大きさ と 方向 が 飛び飛び であることを 意味します． 　量子力学では エネルギーだけでなく， 角運動量の大きさ も， さらに 角運動量の方向 までも， 量子化 されて いるのです． このことは シュテルン・ゲルラッハ の実験 によって 確かめられました (1922)． これもまた， 電子の 粒子性 と 波動性 の 二重性に起因する ことは言うまでなく， 古典論では絶対に ありえないことです．

「エネルギー固有値」 　水素原子の エネルギー固有値 は，量子数 n だけで 決まり， となります． n = 1 が 最低エネルギーの状態 ですから， 基底状態 です． n = 2, 3, ・・・ が 励起状態 です． 基底状態のエネルギーは です． 水素原子の 基底状態と 励起状態の エネルギー固有値が 下図 に 示されています．

水素原子のエネルギー固有値 水素原子の場合の シュレーディンガー 方程式 (1) を解いて 得られた エネルギー固有値 (水平の線)． n = 1 が 基底状態． 横軸は電子の位置 (原点からの距離) の変数 r を， ボーア半径 を単位にして 表しています．

「電子の"存在確率"」 　水素原子の各々の 固有状態において， 電子がどの位置に 見出されるか，その "存在確率" は 大変興味が あります． そこで，下図 に 低いエネルギーの いくつかの固有状態に対して を図示しました． なお，この "存在確率" を 積分すると， となって， 全確率が 100 % になるように 規格化されています． 　下図の 一番上の図が 基底状態 です． ほとんど全ての 確率が ボーア半径 のあたりに集中していることが 明らかです． しかし 励起状態 に なると，確率は 随分遠方に分布します． つまり励起状態になると， 水素原子は 随分膨らんできます．

「このページの結論」 　このページでは， 水素原子の場合の シュレーディンガー 方程式の解が どのようになるかを 見てきました． その中には， 「ミクロの世界」−その１− 第４部 第３ページ のボーアの量子論 が 完全に 含まれていました． 　シュレーディンガー 方程式 という たった１つの原理から， 水素原子の構造の 全てが導き出せるのです． 量子力学 が いかにすばらしい 理論であるか， そして いかに 基本的な理論であるかが 分かります．

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